Türk Dil Kurumu TDK'ya göre, kelimenin doğru yazılışı "hastane"dir. Hastahane kelimesi ise yanlış kabul edilir.

HASTAHANE NEDEN HASTANE OLDU?

Hasta ve hane kelimelerinin bir araya getirilmesiyle oluşturulan hastane sözcüğü birleşik isimdir. Bazı birleşik isimlerde ''hane'' kelimesinin ilk hecesi düşer ve kelimenin sadece ''ne'' kısmı yazılır. Bu kelimenin doğru şekilde yazılış hali hastane olarak ön plana çıkar. 

Yani sonu hane ile bitmez. Çünkü bu kelimenin sonu sesli harf ile bittiği için bir kaynaşma gerçekleşmektedir. Böylece hem okunuşu hem de yazılışı bakımından bu şekilde ele alınır ve kullanılır. Eğer kelimelerin sonu sesli harfle bitiyorsa o vakit hane kelimesi değerlendirilir. 

Hastane sözcüğü yerine, bazı çevreler hala Hastahane olarak kullanılmaktadır.

Kaynak: vikipedia